Resolvido 137 ENEM 2023 Matemática

Questão 137

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo a com o plano do chão. Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: h = 11 m e a = 30°

• opção II: h = 12 m e a = 45°

• opção III: h = 18 m e a = 60°

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

Resolução:

Se a altura do mastro não variasse, ficaria muito fácil pois quanto menor o ângulo, maior seria o cabo. Vou deixar o esquema pra você ver:

Mas como essa não é a situação do exercício e a altura do mastro varia, temos que analisar para cada caso. Para isso, identificamos que o cabo forma um triângulo retângulo com o mastro. A altura do mastro seria o cateto oposto, o cabo a hipotenusa e por isso usamos o seno de alfa. Vamos trabalhar a fórmula pra já ficar pronta pra analisarmos cada caso dos mastros:

Com a fórmula acima, vamos calcular o comprimento dos cabos:

Com os valore de raiz de 2 e raiz de 3, encontramos qual vai ser o menor e respondemos na forma que o exercício pede.

Resposta:

C