Resolvido 166 ENEM 2023 Matemática

Questão 166

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

A 20

B 60

C 64

D 68

E 80

Resolução:

Sabendo a probabilidade de retirar uma bolinha preta de cada urna, podemos calcular a probabilidade de retirar duas bolinhas pretas em sequência e ganhar o prêmio.

Aqui usamos novamente os princípios Aditivo e Multiplicativo. Basicamente, são modos de juntar dois resultados em um só. Basta nos perguntarmos uma pergunta e e verificar o que cabe melhor o E ou o OU. Veja abaixo:

• Quero calcular a chance de retirar uma bolinha preta da urna A E da urna B.

• Quero calcular a chance de retirar uma bolinha preta da urna A OU da urna B.

Se a melhor resposta que representa nosso problema for E, aplicamos o princípio multiplicativo, multiplicando os resultados. Se a melhor resposta que representa nosso problema for OU, aplicamos o princípio aditivo, somando os resultados.

Dica: O princípio multiplicativo é o que mais vai aparecer nos exercícios.

Acima, percebemos que a primeira frase representa melhor o problema então vamos multiplicar as porcentagens das urnas. Agora já podemos começar a trabalhar as contas.

Perceba acima que, já prevendo que queremos um resultado como porcentagem, escolhi um dos números 100 para ficar de fora da conta e calculei apenas os circulados em laranja. Resultado: o cliente tem 5% de chance de ganhar o prêmio antes das mudanças nas urnas.

Depois, o gerente quer que a chance de ganhar abaixe de 5% para 1% ou menos. Vamos analisar o caso de 1% então. Sabemos agora que a probabilidade P do cliente ganhar vai ser de 1%. A probabilidade Pa de retirar uma bola preta da urna A se mantém e precisamos descobrir qual vai ser a nova probabilidade de retirar uma bola preta da urna B pois vão ser colocadas bolas brancas adicionais à ela. Resolvendo da mesma forma, podemos encontrar Pb:

A fórmula básica da porcentagem é dada abaixo. O Nr Casos Favoráveis = 4 é a chance de acontecer o que queremos que aconteça, no caso, é retirar uma bola preta pois são 4 bolas pretas. O Nr Casos Totais = t é o total de bolas pretas e brancas na urna e queremos descobrir.

Sabendo que antes das mudanças na urna B temos 4 bolas pretas e há 25% de retirar uma bola preta, podemos calcular o total inicial t de bolas na urna B.

Por fim, vão ser adicionadas bolas brancas à urna B. Ainda temos 4 bolas pretas e a nova chance de retirar uma bola preta caiu para 5%. Calculando, encontraremos qual a nova quantidade T de bolas na urna B.

Então, como já tínhamos 12 bolas brancas na urna B e depois teremos 76 bolas brancas na urna B, descobrimos que 64 bolas brancas devem ser adicionadas para que as chances de vitória abaixem, conforme o gerente precisa.

Resposta:

C