Resolvido 170 ENEM 2023 Matemática

Questão 170

Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado em três parcelas mensais iguais. Para definir o valor dessas parcelas nas vendas financiadas, a loja aumenta em 20% o valor do produto à vista e divide esse novo valor por 3. A primeira parcela deve ser paga no ato da compra, e as duas últimas, em 30 e 60 dias após a compra. Um cliente da loja decidiu comprar, de forma financiada, um produto cujo valor à vista é R$ 1500,00.

Utilize 5,29 como aproximação para raiz de 28.

A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de

A 6,7%

B 10%

C 20%

D 21,5%

E 23,3%

Resolução:

Aqui os juros compostos vão ser calculados usando sua definição e não a fórmula do montante.

A primeira coisa a fazer é descobrir o valor total parcelado. À vista o produto custa R$ 1500,00. Aplicando 20% a mais basta multiplicar o valor por 120%. Temos:

Pronto. Descobrimos que o valor final do produto será de R$ 1800,00 e vai ser dividido em 3x iguais de R$ 600,00. Como a pessoa vai dar uma entrada de R$ 600,00, vai ficar devendo R$ 900,00, então vamos calcular o juros em cima dos R$ 900,00, pois, pense bem, a pessoa dando uma entrada, a dívida dela já diminuiu na hora.

Depois de 30 dias, esse valor devido de R$ 900,00 vai sofrer uma taxa i que ainda não conhecemos, então, multiplicamos 900,00 por (1 + i), que vai fazer o valor de R$ 900,00 aumentar um pouco. Além disso, a pessoa ainda deve pagar a segunda parcela de R$ 600,00. Depois que pagar, o total devido para o terceiro mês vai ser 900.(i + 1) - 600:

No final do prazo de parcelamento o valor devido de 900.(i + 1) - 600 restante vai novamente aumentar um pouco ao ser multiplicado pela taxa de juros (i + 1).

Veja que esta equação está calculando mês a mês o saldo devedor do cliente. Quando a pessoa pagar a última parcela, esse saldo devedor vai ser zero, por isso, podemos igualar a equação obtida a zero:

Resolvendo as distributivas, chegamos a uma equação do segundo grau na variável i, que vai ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara. No meio do caminho fizemos uma simplificação da conta dividindo ela toda por 100 e depois por 3 para diminuir os valores usados em Bhaskara. Veja a seguir:

Agora que temos a equação de 2º grau, identificamos os valores a, b e c para iniciar o cálculo do Delta.

Dica: Cuidado pois não estamos usando x, e sim, a letra i. Alguns estudantes escrevem sempre x nessa parte e acabam não entendendo o que é essa letra x que acabou de aparecer, sendo que estamos procurando a letra i. Então, cuidado ao escrever. A letra correta na segunda parte de Bhaskara é a mesma letra que usamos na hora de escrever a equação de 2º grau acima.

Aqui, vai aparecer finalmente a raiz de 28 dada de informação no enunciado.

Você já sabe que, quando Delta > 0, conseguimos calcular dois valores diferentes para a letra i, que chamaremos de i1 e i2. Calculando i1, encontramos 21,5 % de taxa. Ao calcular i2, vamos perceber que a conta (- 4 - 5,29), que, vai resultar numa taxa negativa e a taxa não pode ser negativa. Por isso, já podemos ignorar o resultado de i2 e usar i1 como a resposta correta do exercício.

Resposta:

D