Resolvido Matemática ENEM 2024 Caderno Verde

Questão 169

Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

Resposta:

A

Comentários:

Mais uma vez o Enem testando nossa habilidade com a álgebra e manipulação de fórmulas. Para essa questão, precisamos descobrir qual figura tem área maior e que tenha perímetro fixo igual a k.

Para o quadrado:

Como o perímetro é a soma dos lados e o perímetro deve valer k, então cada lado do quadrado vale k/4:

A área do quadrado é A = L . L = L², então:

Para o triângulo equilátero:

Novamente, como o perímetro deve ser k e o triângulo equilátero tem os 3 lados congruentes (de mesma medida), então cada lado mede k/3. A área do triângulo é dada abaixo e calculamos:

Para o hexágono regular:

O hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros, por isso sua área é dada por 6 vezes a fórmula passada, veja abaixo. Como o perímetro deve medir k e o hexágono tem 6 lados iguais, cada lado mede k/6.

Agora, para saber qual resultado obtido é maior, vamos abordar de duas maneiras:

a) Sabemos que raiz quadrada de 3 vale aproximadamente 1,7 e vamos arredondar para 2. Veja as simplificações:

A maior fração é a que tem menor denominador, então ficamos com o Hexágono regular tendo a maior área.

b) Também podemos usar um método mais certeiro e que não tem uma aproximação tão absurda como usar raiz de 3 valendo 2. Vamos fazer um mmc com os denominadores e comparar as frações para saber qual é a maior.

OBS: o intuito aqui é estudar as possibilidades e aprender e, não, resolver da maneira mais rápido possível.

Com o mmc resultando em 144, agora vamos escrever as frações e arrumar os numeradores com o famoso "divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima":

Pra finalizar, vamos calcular e comparar os numeradores:

Vemos que a fração do hexágono regular tem o maior numerador e, por isso, é a relação que nos dá a maior área de jardim.