Resolvido ENEM 2024 Caderno Verde

Questão 171

A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.

Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.

A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por

Resposta:

E

Comentários:

O exercício pede pra calcular a chance de Errar E Errar E Acertar.

Esse E que eu destaquei é importante pois vamos revisar os Princípios da Análise Combinatória. Esses princípios nada mais são do que maneiras de juntar 2 ou mais resultados.

• Princípio Aditivo - os resultados são somados (ou)

• Princípio Multiplicativo - os resultados são multiplicados(e)

  
  

Para entender melhor faça-se a pergunta: Quero errar e errar e acertar ou quero errar ou errar ou acertar? Claramente a única resposta que vai concordar com o enunciado é a pergunta com E. Quando a resposta que mais fizer sentido for com E, usamos o princípio multiplicativo (o mais usado) e, quando a resposta que mais fizer sentido for com OU, usamos o princípio aditivo.

Certo, para decifrar a mensagem devemos acertar por qual letra foi substituída a letra A. Obviamente não será a própria letra A, então, das 26 letras, sobram 25 letras que podem ter sido usadas. A letra A vai ser substituída por alguma delas e apenas uma delas. Por isso, das 25 letras 1 está certa e outras 24 estarão erradas. Ou seja, há 24 chances de errar e 1 chance de acertar.

A chance P1 de errar a primeira vez é de 24 chances em 25. Digamos que tentamos decodificar trocando a A pela letra G e não deu certo. Agora sabemos que a letra G está errada e não vamos tentar mais essa letra, o que diminui nossas opções de 25 letras para 24. Por isso, a chance P2 de errar a segunda vez cai para 23 chances e temos 1 de acertar. Digamos que trocamos a letra A pela L e, de novo, erramos e isso diminui nossas chances de chutar uma letra para 23 possibilidades. Por fim, para acertar, das 23 letras que sobraram 1 está certa e 22 erradas e a probabilidade P3 de acerto é 1 chance em 23.

Para juntar os 3 resultados, aplicamos o princípio multiplicativo.