Resolvido ENEM 2024 Caderno Verde

Questão 178

Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.

Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento.

Considere 3 como valor aproximado para π.

A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é

A 54.

B 60.

C 66.

D 68.

E 72.

Resposta:

D

Comentários:

Primeiro vamos lembrar que a correia quando toca a circunferência nos pontos A, B c, ou D, ela é tangente à circunferência. Ser tangente À circunferência basicamente significa que:

• a reta (correia) e a circunferência compartilham esse ponto, ou seja, esse ponto é um ponto da reta e da circunferência.

• a reta (correia) e o raio da circunferência são perpendiculares, ou seja, formam entre sim um ângulo de 90°.

Assim, abaixo temos destacado em verde um polígono de 6 lados formado, um hexágono. Ainda, pensando em seus ângulos internos, 4 deles são retos e 2 são desconhecidos, que chamei de x e y.

O ângulo x é muito fácil de achar pois sabemos que x e 150° juntos formam um ângulo de volta completa, valendo 360°:

Vamos encontrar y de duas maneiras diferentes:

a) Pela soma dos ângulos internos do hexágono.

Então, se somarmos os 6 ângulos internos do hexágono, essa soma deve ser 720°

b) Pela geometria das retas e raios:

A reta (correia) de cima é perpendicular à duas retas e a reta (correia) de baixo, também é perpendicular a outras duas retas. Então, quando essas retas que seriam os raios se cruzam formando o ângulo marcado em azul, deve formar o mesmo ângulo do outro lado onde também se cruzou. Por isso, o ângulo y vale 150° que foi um ângulo dado no desenho do exercício.

Agora precisamos calcular o comprimento da correia. O comprimento da correia é formado por 4 partes:

• reta AC

• arco DC (maior)

• reta BD

• arco AB (menor)

A boa notícia é que o comprimento AC é o mesmo de BD e vale 15 cm.

Agora precisamos calcular os comprimentos dos arcos. Para isso usamos C = 2.Pi.R e regra de 3. Vou chamar o comprimento da circunferência menor de c1 e o da maior de c2:

Acima, 24 cm é o comprimento total e queremos apenas o comprimento do arco com ângulo central de 150° e a regra de 3 nos dá esse valor proporcional ao ângulo. Abaixo, será o mesmo raciocínio mas para o ângulo central de 210°.

Para finalizar, somamos os comprimentos: