Resolvido 148 ENEM 2023 Matemática

Questão 148

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

A Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.

B Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.

C Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.

D Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.

E Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Resolução:

Vamos lembrar o que é uma PA (progressão aritmética): é uma sequência de números onde, tendo um número inicial, ou não, para encontrar o próximo número, basta somar o valor da razão ao número anterior.

Vamos usar essa nomenclatura:

• a1 (primeiro termo/valor)

• r (razão)

Exemplo:

• a1 = 10 e r = 5

10 15 20 25 30 35 ...

Veja que, partindo de 10, somamos 10+5=15 e encontramos o próximo termo. Depois, 15+5=20 e encontramos o próximo termo, e assim por diante.

• a1 = 4 e r = 20

4 24 44 64 84 104 ...

Veja que, partindo de 4, somamos 4+20=24 e encontramos o próximo termo. Depois, 24+20=44 e encontramos o próximo termo, e assim por diante.

Como vamos usar apenas os números de 1 a 6 nos vértices, temos duas possibilidades para uma PA de razão 2:

• 2 4 6

• 1 3 5

Como são 2 possibilidades, temos abaixo 2 esquemas do triângulo:

Os números em sequência que descobrimos vão ser colocados nos vértices. A ordem deles não faz diferença. Eu escrevi assim:

Depois, temos que posicionar os números que faltam. No primeiro esquema faltam os números ímpares e, no segundo, os pares.

Lembre-se que queremos que a soma dos 3 números de cada lado seja a mesma. Perceba que é fácil colocar os números certos sem muitas tentativas. Veja a linha onde temos 4 ___ 6. Temos nessa linha os maiores números pares, então, se colocar o maior número ímpar, teremos uma soma com valores muito grandes. Por isso, nesse lado eu coloquei o menor número ímpar e ficou: 4 1 6 e 4+1+6=11. Em seguida, para o lado 2 ___ 6, coloquei 2 3 6 e 2+3+6=11. Por fim, para o lado 2 ___ 4, que são os menores pares da sequência, usei o 5, que é o maior ímpar, obtendo: 2 5 4, e 2+5+4=11. Assim, vemos que, dessa maneira, a soma dos lados resulta em 11. Fazendo o mesmo raciocínio para o segundo esquema, obtemos soma 10 em todos os lados e descobrimos que é possível resolver de duas maneiras, uma com soma 10 e outra com soma 11.

Resposta:

E