Resolvido 157 ENEM 2023 Matemática

Questão 157

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

• algarismos de 0 a 9;

• 26 letras minúsculas do alfabeto;

• 26 letras maiúsculas do alfabeto;

• 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;

• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;

• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere p1 , p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na

primeira tentativa, é o

A. tipo I, pois p1 < p2 < p3 .

B. tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.

C. tipo II, pois tem maior quantidade de letras.

D. tipo III, pois p3 < p2 < p1

E. tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Resolução:

Para calcular de quantas maneiras é possível criar uma senha, devemos usar o Princípio Multiplicativo e multiplicar os valores obtidos. Acontece que aqui vamos tratar os dados de maneira diferente e não vamos multiplicar os valores e sim, olhar pra eles e interpretar.

Antes, vamos descobrir quantas senhas diferentes são possíveis de criar com os critérios da senha tipo 1. Perceba que todas as senhas devem ter algarismos distintos, ou seja, não é permitido repetição.

A senha de tipo 1 permite que sejam usados qualquer tipo de algarismos. Abaixo, encontramos o total deles.

Como serão 4 algarismos, monto um campo pra cada um.

Vamos começar a preencher. Temos 68 opções para o 1º algarismos. Digamos que escolhemos o A. Como A não pode ser mais escolhido para o 2º algarismo, nossas opções diminuem de 68 algarismos para 67. Digamos que escolhemos 4. Agora, para o 3º algarismo, não podemos usar nem A, nem 4. E assim por diante. O total de senhas diferentes que podem ser criadas é dado pela multiplicação desses 4 valores. Mas calma! Não multiplique e vamos tentar algo diferente. Guarde esses números.

Calcular da mesma maneira para a senha de tipo 2, seguindo as restrições dadas no enunciado.

Por fim, calcular para a senha de tipo 3:

Agora, vamos comparar os resultados obtidos. A senha de tipo 1 tem 4 números multiplicando. Por isso, vou fazer algumas multiplicações básicas para transformar as senhas de tipos 2 e 3 em quatro multiplicações. Para a senha de tipo 2, multiplicamos 6x10 = 60 e, para a senha de tipo 3, multiplicamos 5x10 = 50 e 9x6 = 54.

Mesmo sem fazer as contas é possível perceber que T1, se os números forem multiplicados, dará um resultado maior que T2 e T3 pois tem números maiores. Da mesma forma, o resultado de T2 será maior que T3, pois, mesmo T2 e T3 tendo os números 52, 51 e 50 em comum na multiplicação, T2 tem um x60 no fim, que dará um resultado maior que T3, que tem x54 no fim.

Resumo: T1 > T2 > T3.

Para as probabilidade, usaremos:

O evento favorável aqui é acertar a senha de primeira, ou seja, na primeira chance, com uma tentativa. Por isso, usaremos o valor 1 no numerador. Os eventos totais são o resultado das contas acima que estamos evitando de calcular (e não calcularemos).

Lembre-se que, numa divisão, quanto maior o número no denominador (em baixo), menor será o resultado da divisão. É o mesmo que:

• 50 balas divididas para 10 crianças --> 50/10, então, cada uma ganha 5 balas.

• 50 balas divididas para 25 crianças --> 50/25, então, cada uma ganha 2 balas.

Percebemos que, quanto maior o denominador, menor será o resultado.

Agora com as probabilidades montadas, veja o que acontece. Para o exercício, quanto maior o denominador, menor será a probabilidade P, ou seja, menor a chance de acertar a senha de primeira.

Assim, a probabilidade P1 é a que tem menor resultado, a menor probabilidade, pois é dividida por T1 que é o maior número, seguido nesta lógica, por P2 e P3, com maior resultado..

Concluindo, obtemos que P1 < P2 < P3.

Resposta:

A